Grandes nomes da Física: Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu até 1855. É considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton, e seus campos de interesse excederam os de ambos. Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemática e para a Teoria dos Números. Seu pai era jardineiro e assistente de um comerciante, e enquanto criança mostrou grande talento para a matemática. Sua produção intelectual foi precoce; existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. Diz a história que sua professora primária para manter a classe ocupada, lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100, tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilização da fórmula da PA.

S_n = n.(a₁ + a_n) / 2

Amigos de seu professor o apresentaram ao Duque de Brunswick, quando tinha 14 anos. O Duque passou a financiar sua educação e posteriormente suas pesquisas científicas. Gauss ingressou na universidade em outubro de 1795. Em seu primeiro semestre na universidade fez uma brilhante descoberta que o homem buscava a mais de 2000 anos como construir com compasso e esquadro. Esta descoberta foi comemorada com o início de seu diário que durante os próximos 18 anos foi testemunha de muitas de suas descobertas. Dentre suas descobertas nos tempos de estudante as mais significativas são a do método dos mínimos quadrados, a prova da reciprocidade quadrática na teoria dos números.

Até a idade de 20 anos Gauss teve um grande interesse por idiomas e quase se tornou um filologista. Posteriormente, literatura estrangeira e leituras sobre política eram seus passatempos, ambos com tendências conservadoras. Aos 28 anos, quando atingiu uma condição financeira confortável ele se casou com Johanne Osthof, sendo muito feliz. Teve com ela tres filhos. Porém, depois do nascimento do terceiro filho, em 1809, sua esposa faleceu. Depois ele se casaria novamente e teria mais tres filhos, no entanto sua vida não foi mais a mesma, e voltou-se cada vez mais para a pesquisa matemática.

Gauss obteve seu doutorado com a defesa de uma tese intitulada NEW DEMOSNSTRATION OF THE THEOREM THAT EVERY RATIONAL INTEGRAL ALGEBRIC FUNCTION IN VARIABLE CAN BE SOLVED INTO REAL FACTORS OF FIRST OR SECOND DEGREE.

Trabalhos de Física

Após a metade da década de 1820 Gauss se rendeu às pressões financeiras, e aos problemas de saúde e de família. Os estudos de Gauss tiveram seu início formal em 1829 com estudos sobre o campo magnético terrestre, porém Gauss mostrou pouca experiência para realizar medições, o que tornou valiosa a colaboração de Weber, um jovem e brilhante fisico. Em outubro deste ano Gauss voltou-se a estender seus conhecimentos no campo da física, começando a trabalhar em problemas de física teórica, especialmente em mecânica, capilaridade, acústica, óptica e cristalografia, tendo como primeiro fruto destes trabalhos o "UBER EIN NEUES ALLGEMEINES GRUNDGESETZ DER MECHANIK".

Em 1830, Gauss publicou o "PRINCIPIA GENERALIA THEORIARE FIGURAE FLUIDORUM EN STATU AEQUILIBRII" que foi uma importante contribuição para o campo da capilaridade e teve um importante papel no cálculo de variações, pois foi a primeira solução envolvendo integrais duplas, condições de contorno e limites variáveis.

Em 1832 Gauss apresentou à Academia o "INTENSISITAS VIS MAGNECTICAE TERRESTRIS AD MENSURAM ABSOLUTAM REVOCATA", em que aparece pela primeira vez o primeiro uso sistemático de unidades absolutas (distância, massa, tempo) para medir grandezas não mecânicas.

Juntamente com Weber, em 1833, Gauss chegou às leis de Kirchoff e antecipou várias descobertas na eletricidade, estática, térmica e da fricção, porém não publicaram resultados, pois seus interesses estavam voltados ao eletromagnetismo terrestre, sendo que a publicação de maior relevância neste campo foi "ALLGEMEINE THEORIE DES ERMAGNETISMUS (1839)" no qual Gauss expressa o potencial em qualquer ponto da superfície da terra como uma série infinita de funções esféricas, juntamente com dados experimentais.

Gauss terminou suas pesquisas no campo da física com a publicação de "ALLGEMEINE LEHRSATSE IN BEZIEHUNG AUF DIE IM VERKEHRTEN VERHALTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG WIRKENDEN ANZIEHUNGS UND ABSTOSSUNGSKRAFTE (1840)". No mesmo ano Gauss terminou o 'DIOPTRISCHE UNTERSUCHUNGEN (1841), no qual ele analisa o caminho da luz através de um sistema de lentes e mostrou entre outras coisas, que qualquer sistema é equivalente à escolha correta de uma única lente. Gauss dizia que esta teoria era de seu conhecimento a quarenta anos, porém ele as considerava muito elementares para serem publicadas, sendo que esta teoria foi tida como um de seus melhores trabalhos, por parte de um de seus maiores biógrafos.

Vídeo sobre Gauss

Fonte:

Site http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/gauss.htm, acessado em 27 de novembro de 2012.

A Lei de Gauss para o magnetismo

As linhas de campo magnético diferem de linhas de campo elétrico porque as linhas de um campo magnético B formam curvas fechadas, enquanto as linhas de um campo elétrico E começam e terminam em cargas elétricas. O equivalente magnético de um ímã é o polo magnético, tal como parecem ser as extremidades de um ímã em barra. Linhas de campo magnético parecem sair da extremidade do polo norte de um ímã em barra e parecem convergir para a extremidade do polo sul (veja a figura 1). No interior do ímã, entretanto, as linhas de campo magnético nem saem de um ponto próximo ao polo norte, nem convergem para um ponto próximo ao polo sul. Em vez disso, as linhas de campo magnético passam através do ímã do polo sul até o polo norte. 

Figura 1: as linhas de camo parecem sair do polo norte magnético e convergir para o polo sul.

Vamos traduzir isso para a linguagem matemática. A saída do fluxo magnético resultante de qualquer superfície fechada é zero. Isso equivale a declaração acima sobre as fontes de campo magnético. Para um dipolo magnético, qualquer superfície fechada, o fluxo magnético dirigido para dentro em direção ao polo sul será igual ao fluxo para fora do polo norte. O fluxo resultante será sempre zero para fontes dipolo. Se houvesse uma fonte monopolo magnético, isto daria uma área (valor da integral) diferente de zero. A divergência de um campo vetorial é proporcional à densidade de fonte de ponto, por isso a forma de lei de Gauss para campos magnéticos é então uma indicação de que não há monopolos magnéticos.

Abaixo, temos então a Lei de Gauss para o magnetismo, que é uma das equações de Maxwell.

Nessa animação, você pode ver como funcionam as linhas de campo de um ímã.

Applet
Nessa animação você pode ver as linhas de campo magnético de um ímã.



Fontes
1. Site http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html, acessado em 27 de novembro de 2012.
2. Tipler, P.A. Física: para cientistas e engenheiros. Volume 2, 4ª edição.

Campo magnético em um fio retilíneo

Figura 1 - a corrente gera campo magnético
ao redor de um condutor retilíneo.

Caso você tenha um condutor reto, extenso e vertical percorrido por uma corrente elétrica (um fio, por exemplo) atravessando uma cartolina colocada em um plano horizontal ortogonal ao condutor, é possível perceber que gera-se campo magnético circular ao redor do fio quando se espalha limalha de ferro sobre a cartolina (veja a figura 1).

As linhas de campo magnético ao redor de um longo fio por onde passa corrente elétrica formam círculos concêntricos ao redor do fio. A direção do campo magnético é perpendicular ao fio e é a direção dos dedos da sua mão direita que estariam enrolados ao redor do fio desde que seu polegar estivesse na direção da corrente.

Figura 2

Utilizando a lei de Ampère, é possível obter a expressão do valor do campo magnético ao redor do fio, que é dado por

onde

é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente que passa pelo fio e r é a distância em que se está do fio ao medir o campo magnético.

Em resumo, a um ponto P, à distância r do fio, o vetor indução magnética terá as seguintes características:
a) direção: tangente à linha de indução que passa pelo ponto P;
b) sentido: determinado pelos dados da mão direita ao apontar o polegar no sentido da corrente;
c) intensidade: 

Cálculo do campo magnético no condutor retilíneo online

Você pode simular o cálculo do campo magnético ao redor de um fio retilíneo no link

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/magcur.html#c3

acessado em 18 de novembro de 2012.

Vídeo - utilizando a regra da mão direita para determinar o sentido do campo magnético ao redor de um condutor

Applet

O applet disponível no link

http://www.walter-fendt.de/ph14pt/mfwire_pt.htm

simula uma experiência relativa ao campo magnético gerado por uma corrente eléctrica num condutor retilíneo. Sabendo que uma corrente elétrica produz um campo magnético, faz-se passar uma corrente de grande intensidade através de um fio vertical. O utilizador pode inverter o sentido da corrente, utilizando o botão vermelho. Os sinais nas extremidades do fio simbolizam os pólos do gerador a que este se liga. A direção convencional da corrente é dada pela seta vermelha. Note que o movimento dos elétrons (pontos verdes) é o oposto do sentido convencional.

Fontes:

1) Site http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/magcur.html#c3, acessado em 18 de novembro de 2012;

2) Site http://www.geocities.ws/saladefisica8/eletromagnetismo/condutor.html, acessado em 18 de novembro de 2012;

3) Ramalho Junior, Francisco; Ferraro, Nicolau Gilberto; Soares, Paulo Antônio de Toledo. Os fundamentos da física. 9ª edição. São Paulo, Moderna, 2007.
4) Site http://www.walter-fendt.de/ph14pt/mfwire_pt.htm, acessado em 18 de novembro de 2012.

Campo magnético em um solenoide

Figura 1 - Solenoide.

Denomina-se solenoide (do grego solen = tubo) ou bobina longa um fio condutor enrolado segundo espiras iguais, uma ao lado da outra, igualmente espaçadas.

Se as espiras são bastante próximas, podemos considerar cada espira como um condutor circular. Para determinar as linhas de força do campo criado pelo solenoide, atravessamos o solenoide por um cartão e colocamos limalha de ferro. Como o campo resultante é a soma dos campos produzidos pelas espiras, obtemos a disposição indicada na figura 2, a seguir:

Figura 2 - Campo magnético em um solenoide.

O sentido das linhas de força pode ser dado pela regra da mão direita. No centro do solenoide as linhas de força são retas paralelas e, portanto, o campo magnético é uniforme. Por fora do solenoide, as linhas de força se curvam, para se fechar.

Em resumo, no interior do solenoide, o campo é praticamente uniforme e tem a direção de seu eixo geométrico; externamente, o campo é praticamente nulo.

As extremidades do solenoide denominam-se polos: norte, de onde saem as linhas de indução; sul, por onde entram. Isso é, na verdade, uma analogia com o campo magnético produzido por um ímã, pois, num ímã, as linhas de força também saem do polo norte e entram no polo sul. Na prática, é indiferente produzir-se um campo magnético por um ímã ou por um solenóide.

Figura 3 - campo magnético produzido num ímã (esq.) e num solenoide (dir.).

Em resumo, no interior do solenoide o vetor indução magnética B tem as seguintes características:

Direção: do eixo geométrico do solenoide;

Sentido: determinado pela regra da mão direita;

Intensidade: pode ser obtida aplicando-se a Lei de Ampère e calculando-se a circulação do vetor B. Fazendo esse cálculo, obtêm-se as fórmulas (quaisquer delas servem para o cálculo de  B):

em que a letra grega "mi" é a permeabilidade magnética no vácuo, L é o comprimento do solenoide, N é o número de espiras existentes, n = N/L é a densidade linear de espiras e I é o valor da corrente no solenoide. 

Figura 4 - figura utilizada para ajudar a calcular o módulo de B no interior do solenoide.

Cálculo do campo magnético no solenoide online

No link

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

você pode calcular o campo magnético de um solenoide fornecendo L, N e I.

- No vídeo abaixo, você pode ver o modelo de uma experiência sobre campos magnéticos em solenoides. Veja que a bússola gira quando estabelece-se corrente.

Simulação digital

No link

http://www.fisicanimada.net.br/?q=magnetismo/compo_mag_de_solenoide

você tem acesso a uma animação sobre campo magnético em um solenoide.

Fontes

- Ramalho Junior, Francisco; Ferraro, Nicolau Gilberto; Soares, Paulo Antônio de Toledo. Os fundamentos da física. 9ª edição. São Paulo, Moderna, 2007.

- Site http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html, acessado em 17 de novembro de 2012.

- Site http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo_corrente/cap14_04/, acessado em 17 de novembro de 2012.

- Site http://www.mundoeducacao.com.br/fisica/campo-magnetico-no-interior-um-solenoide.htm, acessado em 17 de novembro de 2012.

Campo magnético no centro de uma espira circular

Na figura abaixo você observa um condutor sob forma de espira circular com centro O e raio R sendo percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i.

No ponto O, o vetor indução magnética B apresenta as seguintes características:

- Direção: perpendicular ao plano da espira;

- Sentido: determinado pela regra da mão direita;

- Intensidade: determinado a partir da Lei de Biot-Savart:

Como o ângulo entre o raio e o comprimento infinitesimal é 90º, da Lei de Biot-Savart, segue que

Em um ímã, as linhas de indução saem do polo norte e chegam ao polo sul. Uma espira percorrida por uma corrente elétrica origina um campo magnético análogo ao de um ímã, e então atribui-se a ela um polo norte, do qual as linhas saem, e um polo sul, no qual elas chegam.

As figuras abaixo representam o que foi explicado acima:

A figura da direita é uma visualização, com limalha de ferro, de um campo magnético gerado por um condutor em forma de espira circular percorrido por corrente elétrica.

No plano da figura, podemos representar a espira e o vetor B no centro da seguinte forma:

Justapondo-se N espiras iguais, de modo que a espessura do enrolamento seja muito menor que o diâmetro de cada espira, temos a denominada bobina chata (figura abaixo), onde a intensidade do vetor indução magnética B no centro vale:

O sentido e a direção do vetor B da bobina é determinado da mesma maneira como na espira.

Vídeo: a bobina de Tesla

Fontes:

- Ramalho Junior, Francisco; Ferraro, Nicolau Gilberto; Soares, Paulo Antônio de Toledo. Os fundamentos da física. 9ª edição. São Paulo, Moderna, 2007.

- Site http://www.fisicaevestibular.com.br/magnetismo5.htm, acessado em 3 de novembro de 2012.

A experiência de Oersted

Figura 1

Em 1819 o físico dinamarquês Oersted observou que, quando a agulha de uma bússola é colocada próxima de uma corrente elétrica, essa agulha é desviada de sua posição (figura 1). Ora, uma agulha magnética, suspensa pelo centro de gravidade, só entra em movimento quando está em um campo magnético. O deslocamento da agulha só se explica pela formação de um campo magnético em torno do condutor percorrido por corrente elétrica. Foi essa a primeira vez que se observou o aparecimento de um campo magnético juntamente com uma corrente elétrica.

O leitor pode fazer a seguinte observação: quando um bonde passa a muitos metros de uma agulha imantada, faz a agulha oscilar. Isso porque a corrente que passa no fio “troley” produz um campo magnético que atinge a agulha (“troley” é o fio no qual desliza a “alavanca” do bonde).

A figura abaixo mostra como se pode realizar a experiência de Oersted: um condutor retilíneo horizontal é colocado paralelamente a uma agulha imantada. Esse condutor é ligado em série com os seguintes elementos: um acumulador, que fornece corrente; um reostato, que controla a intensidade da corrente; e uma “chave” (interruptor), para abrir e fechar o circuito. Inicialmente, esta chave está aberta, e a agulha se mantém paralela ao condutor (figura 2). Quando se fecha a chave, passa corrente, produz-se o campo magnético, e a agulha é desviada (figura 3).

Figura 2

















Figura 3

Fonte:

Site http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo_corrente/exper_oersted/

Acessado em 3 de novembro de 2012

O físico Félix Savart

Savart, 1791-1841

Membro da Academia de Ciências da França, devem-se a Savart importantes trabalhos sobre acústica.

O nome de Félix Savart passou à história da ciência intimamente relacionado com o deJean-Baptiste Biot, em razão da lei que os dois estabeleceram em 1820: a Lei de Biot-Savart.

Entre 1808 e 1810 Savart estudou em um hospital da cidade de Metz. Depois, trabalhou como cirurgião em um dos regimentos de Napoleão Bonaparte. Em 1814 abandonou o exército e se dirigiu a Estrasburgo, a fim de terminar seus estudos de medicina. Em 1816 formou-se médico.

No ano de 1817 retorna a Metz, onde, além de trabalhar como médico, estuda física como autodidata, chegando a montar uma laboratório de física em sua residência. Ao mesmo tempo, começa a construir instrumentos musicais de corda, mas com formas inovadoras, seguindo as leis matemáticas.

Em 1819 viaja a Paris, com a ideia de conseguir publicar sua tradução (do latim) do texto "Da Medicina", de Aurélio Cornélio Celso, um escritor romano do século 1. Apesar de não conseguir a publicação, conheceu Biot, com quem discutiu sobre a acústica dos instrumentos musicais, apresentando-lhe seu violino trapezoidal. Tornaram-se amigos.

 

Invenções e escritos

Savart se especializou no estudo da acústica. Em 1830, inventou a chamada "roda dentada de Savart", um instrumento que serve para medir a frequência de um som. Também inventou um sonômetro (instrumento destinado a medir e comparar os sons e intervalos harmônicos) e um polariscópio (instrumento utilizado para observar objetos iluminados por luz polarizada).

Mais tarde, inventou a mínima unidade de desafinação musical, o "savart" (equivalente à vigésima quinta parte de um semitom). Atualmente, os músicos utilizam a centésima parte de um semitom.

Savart foi professor de física da Academia de Ciências da França e do Collège de France. Entre 1820 e 1824 publicou: Monografia sobre a Comunicação dos Movimentos Vibratórios entre os Corpos Sólidos,Investigação sobre as Vibrações do Ar e Monografia sobre as Vibrações dos Corpos Sólidos, Considerados em Geral.

 

Enciclopédia Mirador Internacional

Fonte:

Site http://educacao.uol.com.br/biografias/felix-savart.jhtm, acessado em 3 de novembro de 2012.